Man betrachte eine kraftfreie hooksche Feder der Länge L_0 und Federkonstante k als einen eindimensionalen Körper mit homogener Massendichte \lambda_0 und Masse M. Wir wollen die Bewegungsgleichung für diese “Slinky” mit Hilfe des Lagrange-Formalismus für Felder aufstellen.
Dazu werden die Punkte entlang der Feder mit dem dimensionslosen Parameter r identifiziert, wobei 0 der Ankerpunkt und 1 das Ende der Feder ist. Dabei ist r gleichmäßig in der Massenverteilung, also dm/dr = \text{const}. = M.
So kann nun das Feld Z(r, t) eingeführt werden, welches die Position des Punktes r auf der Feder zum Zeitpunkt t beschreibt.
Für die Lagrange-Dichte müssen wir die kinetische und potentielle Energie in einem Federelement dr bestimmen.
Die kinetische Energie ist direkt gegeben durch dK = \frac12 dm\,v^2 = \frac12 M \left(\partial_t Z\right)^2 dr ~.
Die Gravitationskraft sorgt für eine potentielle Energie von dV_g = - g\,dm\,Z(r, t) = - gM\cdot Z(r, t)\,dr ~.
Die potentielle Energie eines Federelements muss durch lokale Größen ausgedrückt werden.
Betrachten wir dazu eine gespannte Feder ohne Einwirkung externer Kräfte, welche auf die Länge L gestreckt ist. Die Massendichte ist überall \lambda = L/M. Die Gesamtenergie der Feder ist V_{k} = \frac12 k (L-L_0)^2 = \frac12k\left(\frac{M}{\lambda(r)} - L_0\right) ~. Der Gradient \partial_r Z(r) ist homogen, sodass \partial_z Z(r) = \frac{Z(1) - Z(0)}{1} = L = \frac{M}{\lambda(r)} ~. Die Energie ist ebenfalls gleichverteilt, womit dV_k/dr = V_k. Somit gilt für ein Federelement dV_k = \frac12k\left(\partial_rZ(r) - L_0\right)^2 dr ~. Da der Gradient \partial_r Z(r) eine lokale Größe ist, kann dieses Ergebnis für eine allgemeine Feder übernommen werden.
Zusammengesetzt lautet die Lagrange-Dichte
\mathcal L = \frac12M(\partial_t Z(r, t))^2 - \frac12 k (\partial_r Z(r, t) - L_0)^2 + gM\,Z(r, t) ~.
Das vorherige Ergebnis kann nun einfach in die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt werden.
\begin{aligned} \def\pt{\partial_t} \def\pr{\partial_r} \def\pdv#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} 0 &= \frac{\partial \mathcal L}{\partial Z} - \partial_t\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_tZ)} - \partial_r\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_rZ)} \\ &= gM - \partial_t\left(M\partial_tZ\right) - \partial_r\left(-k(\partial_rZ - L_0)\right) \\ &= g - \partial_t^2Z + \frac{k}{M} \partial_r^2Z \\ g &= \Big(\partial_t^2 - \frac{k}{M} \partial_r^2\Big)Z(r, t) \end{aligned}